Question

已知三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠ACB=90°，BC=1，AC=

2

．如图，从由任何二个顶点确定的向量中任取两个向量，记变量X为所取两个向量的数量积的绝对值．
（1）当PA=2时，求P（X=4）的值．
（2）当PA=1时，求变量X的分布列与期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差

专题：概率与统计

分析：（1）以CA为x轴，CB为y轴，建立空间直角坐标系，得到由任何二个顶点确定的向量的个数为

C

2 6

=15，其中X=4的有|

AP

•

PB

|，|

AP

•

PC

|，共2个，由此能求了P（X=4）=

2

15

．
（2）PA=1时，用列举法写出所有的15个向量的数量积的绝对值，得到X的取值为0，1，2，3，由此能求出变量X的分布列与期望．

解答： 解：（1）PA⊥平面ABC，∠ACB=90°，
BC=1，AC=

2

，PA=2，
以CA为x轴，CB为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
A（

2

，0，0），B（0，1，0），C（0，0，0），
P（

2

，0，2），
∴

AB

=(-

2

，1，0)，

AC

=(-

2

，0，0)，

AP

=(0，0，2)，

PB

=(-

2

，1，-2)，

CB

=(0，1，0)，

CP

=(

2

，0，2)，
由任何二个顶点确定的向量的个数为

C

2 6

=15，
其中X=4的有|

AP

•

PB

|，|

AP

•

PC

|，共2个，
∴P（X=4）=

2

15

．
（2）PA=1时，A（

2

，0，0），B（0，1，0），C（0，0，0），
P（

2

，0，1），
∴

AB

=(-

2

，1，0)，

AC

=(-

2

，0，0)，

AP

=(0，0，1)，

PB

=(-

2

，1，-1)，

CB

=(0，1，0)，

CP

=(

2

，0，1)，
|

AB

•

AC

|=2，|

AB

•

AP

|=0，|

AB

•

PB

|=3，|

AB

•

CB

|=1，|

AB

•

CP

|=2，
|

AC

•

AP

|=0，|

AC

•

PB

|=2，|

AC

•

CB

|=0，|

AC

•

CP

|=2，|

AP

•

PB

|=1，
|

AP

•

CB

|=0，|

AP

•

CP

|=1，|

PB

•

CB

|=1，|

PB

•

CP

|=3，|

CB

•

CP

|=0．
∴X的取值为0，1，2，3，
P（X=0）=

5

15

，P（X=1）=

4

15

，P（X=2）=

4

15

，P（X=3）=

2

15

，
∴X的分布列为：

P	0	1	2	3
X	5 15	4 15	4 15	2 15

EX=1×

4

15

+2×

4

15

+3×

2

15

=

6

5

．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型．