Question

为考察某种药物防治疾病的效果，对105只动物进行试验，得到如下的列联表：
药物效果试验列联表

	患病	未患病	总计
服用药	10	45	55
没服用药	20	30	50
总计	30	75	105

（1）能否以97.5%的把握认为药物有效？为什么？
（2）用分层抽样方法在未患病的动物中随机抽取5只，服用药的动物应该抽取几只？
（3）在（2）所抽取的5只动物中任取2只，求恰有1只服用药的动物的概率．

Answer 1

考点：独立性检验的应用,列举法计算基本事件数及事件发生的概率

专题：概率与统计

分析：（1）利用相关指数公式计算观测值，比较与临界值的大小，可得判断有关的可靠性程度；
（2）求出分层抽样的比例，根据比例计算应抽取服用药的动物数；
（3）写出所有基本事件，从中找出恰有1只服用药的动物的基本事件，利用基本事件个数比求概率．

解答： 解：（1）相关指数K²的观测值k=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

=

105×(10×30-20×45)2

55×50×30×75

≈6.1＞5.024，
∴有97.5%的把握认为药物有效；
（2）分层抽样的抽取比例为

45

75

，
∴应抽取服用药的动物数为

45

75

×5=3（只）；
（3）由（2）知，已抽取没服用药的动物5-3=2（只），
记所抽取的动物为a₁、a₂、a₃（服用药），b₁、b₂（没服用药），从中任取2只，
不同的取法有a₁a₂、a₁a₃、a₂a₃、a₁b₁、a₁b₂、a₂b₁、a₂b₂、a₃b₁、a₃b₂、b₁b₂，共10种，
恰有1只服用药的动物的取法有a₁b₁、a₁b₂、a₂b₁、a₂b₂、a₃b₁、a₃b₂，共6种，
∴恰有1只服用药的动物的概率P=

6

10

=0.6．

点评：本题考查了独立性检验基本思想，考查了分层抽样方法及古典概型的概率计算，是概率统计的常见题型．