Question

已知等差数列{a_n}的公差d不等于0
（1）若数列{a_n}中的不同三项a_r，a_s，a_t为等比数列，且r，s，t也为等比数列，证明：a₁=d；
（2）若（a₁）²+（a₁₁）²=10，求a₁₁+…+a₂₁的最大值．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）运用等差数列的通项公式和等比数列的性质，化简整理，得到2s（a₁-d）=t（a₁-d）+r（a₁-d），注意运用公差d不等于0，即可得证；
（2）运用三角换元，令a₁=

10

sinα，a₁₁=

10

cosα，再由等差数列的求和公式，和辅助角公式，即可求出最大值．

解答： （1）证明：∵a_r，a_s，a_t为等比数列，且r，s，t也为等比数列
∴a_s²=a_r•a_t，s²=rt，
∴[a₁+（s-1）d]²=[a₁+（r-1）d]•[a₁+（t-1）d]
∴2s（a₁-d）=t（a₁-d）+r（a₁-d），
∵2s≠t+r，（否则s，r，t相等），
∴a₁-d=0即a₁=d；
（2）解：∵（a₁）²+（a₁₁）²=10，
∴令a₁=

10

sinα，a₁₁=

10

cosα，
∴10d=

10

（cosα-sinα），
∴a₁₁+…+a₂₁=

1

2

（a₁₁+a₂₁）•11=

1

2

[2

10

cosα+

10

（cosα-sinα）]•11
=

11 10

2

（3cosα-sinα）=

11

2

×10sin（α-θ）（θ为辅助角）≤55，
当且仅当sin（α+θ）=1，取最大值55．

点评：本题主要考查等差数列的通项和等比数列的性质及应用，考查三角换元法求最值，注意辅助角公式的运用，该题是一道综合题．