Question

定义在R上的函数f（x）满足f（4）=1，f′（x）为f（x）的导函数，已知函数y=f′（x）的图象如图所示．若两正数a，b满足f（2a+b）＜1，则

b+2

a+2

的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划的应用,导数的运算,利用导数研究函数的单调性

专题：不等式的解法及应用

分析：先根据导函数的图象判断原函数的单调性，从而确定a、b的范围，最后利用不等式的性质得到答案．

解答： 解：由图可知，当x＞0时，导函数f'（x）＞0，原函数单调递增，
∵两正数a，b满足f（2a+b）＜1，
又由f（4）=1，即f（2a+b）＜4，
即2a+b＜4，
又由a＞0．b＞0；
点（a，b）的区域为图中阴影部分，不包括边界，

b+2

a+2

的几何意义是区域的点与A（-2，-2）连线的斜率，
直线AB，AC的斜率分别是

1

2

，3；则

b+2

a+2

∈（

1

2

，3）；
故答案为：（

1

2

，3）．

点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．