Question

已知函数f（x）=

ax，(x≥0) (1-2a)x-4a+4，(x＜0)

，其中a＞0且a≠1．
（1）若f（f（-2））=

1

9

，求a的值；
（2）若f（x）在R上单调递减，求a的取值范围．

Answer 1

考点：指数函数单调性的应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）逐步代入，求得f（-2）=2，得f（f（-2））=f（2），计算即可．
（2）根据指数函数和一次函数的性质求出a相应的范围，注意若f（x）在R上单调递减，f（x）=（1-2a）x-4a+4的最小值大于等于f（x）=a^x的最大值，继而求出a的范围．

解答： 解：（1）由f（-2）=-2（1-2a）-4a+4=2＞0，则f（f（-2））=f（2）=a²=

1

9

，
∵a＞0且a≠1．
∴a=

1

3

（2）当x≥0时，f（x）=a^x，根据指数函数的性质，f（x）是减函数则0＜a＜1，
当x＜0时，f（x）=（1-2a）x-4a+4，根据一次函数的性质，f（x）是减函数则1-2a＜0，解得a＞

1

2

因为f（x）在R上单调递减-4a+4≥a⁰解得，a≤

3

4

综上所述a的取值范围（

1

2

，

3

4

]

点评：本题主要考查了分段函数的单调性和函数值的求法，f（x）=（1-2a）x-4a+4的最小值大于等于f（x）=a^x的最大值是本题的关键，属于基础题．