Question

已知中心在原点的椭圆C的两个焦点和椭圆C₁：4x²+9y²=36的两个焦点是一个正方形的四个顶点，且椭圆C过点A（2，3）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若PQ是椭圆C的弦，O是坐标原点，OP⊥OQ，且点P的坐标为（

2

，2

3

），求点Q的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由椭圆C₁：4x²+9y²=36化为

x2

9

+

y2

4

=1，可得两个焦点(±

5

，0)．由于椭圆C的两个焦点和椭圆C₁：4x²+9y²=36的两个焦点是一个正方形的四个顶点，因此可得椭圆C的两个焦点为(0，±

5

)．可设椭圆C的方程为：

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)．把点A（2，3）代入椭圆方程，并利用a²=b²+5即可得出．
（2）设Q（x₀，y₀），由于

OP

⊥

OQ

，可得

2

x0+2

3

y0=0．又

y 2 0

15

+

x 2 0

10

=1，联立解得即可．

解答： 解：（1）由椭圆C₁：4x²+9y²=36化为

x2

9

+

y2

4

=1，可得两个焦点(±

5

，0)．
∵椭圆C的两个焦点和椭圆C₁：4x²+9y²=36的两个焦点是一个正方形的四个顶点，
∴椭圆C的两个焦点为(0，±

5

)．
可设椭圆C的方程为：

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)．
又椭圆C过点A（2，3），∴

9 a2 + 4 b2 =1 a2=b2+5

，解得b²=10，a²=15．
∴椭圆C的方程为

y2

15

+

x2

10

=1．
（2）设Q（x₀，y₀），∵

OP

⊥

OQ

，
∴

2

x0+2

3

y0=0．
又

y 2 0

15

+

x 2 0

10

=1，联立解得

x0=3 y0=- 6 2

或

x0=-3 y0= 6 2

∴Q(3，-

6

2

)或(-3，

6

2

)．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量与数量积的关系、正方形的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．