Question

已知函数f（x）=

2x-1

x

①判断函数f（x）的奇偶性（要求说明理由）；
②判断函数f（x）在区间[0，+∞]上的单调性并证明；
③x∈[3，5]求f（x）的最值．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：证明题,函数的性质及应用

分析：（1）运用函数的奇偶性的定义判断；（2）运用函数的单调性的定义，即可证明；（3）利用函数的单调性求出最值．

解答： 解：（1）∵定义域为{x|x≠0}，定义域关于原点对称，
f（-x）=

-2x-1

-x

=

2x+1

x

≠f（x），且f（-x）≠-f（x），
∴f（x）既不是奇函数也不是偶函数；
（2）f（x）在区间[0，+∞]上单调递增．
证明如下：设0≤x₁＜x₂
则f（x₁）-f（x₂）=

2x1-1

x1

-

2xx-1

x2

=

1

x2

-

1

x1

=

x1-x2

x1x2

∵0≤x₁＜x₂
∴x₁x₂＞0，x₁-x₂＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在区间[0，+∞]上单调递增；
（3）∵f（x）在区间[0，+∞]上单调递增，
∴x∈[3，5]，f（x）也是单调增函数，
∴f（x）_min=f（3）=

5

3

，
f（x）_max=f（5）=

9

5

．

点评：本题考查函数的奇偶性和单调性以及最值，注意运用定义，是一道中档题．