Question

定义在R上的奇函数f（x）满足：f（x）=-f（x+

3

2

），f（-1）=1，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2008）=

 

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：由函数f（x）是奇函数可得f（-1）=-f（1）且f（0）=0，又由f（x）=-f（x+

3

2

）可得函数f（x）的周期为3，由此即可得解

解答： 解：∵f（x）是R上的奇函数，且f（-1）=1
∴f（0）=0，f（1）=-f（-1）=-1
又∵f（x）=-f（x+

3

2

）
∴f（x+

3

2

）=-f（x），∴f（x+3）=f（x+

3

2

+

3

2

）=f（x）
∴函数f（x）的周期为T=3
∴f（-1）=f（2）=1，f（3）=f（0）=0
∴f（1）+f（2）+f（3）=-1+0+1=0
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2008）=669×（f（0）+f（1）+f（3））+f（1）=-1
故答案为：-1

点评：本题考查函数的奇偶性、周期性，要求能深入挖掘奇函数这一条件，会推导抽象函数的周期．