Question

已知数列{a_n}前n项和为S_n，且a_n+S_n=-2n-1．
（Ⅰ）证明：数列{a_n+2}是等比数列；
（Ⅱ）若{b_n}满足b_n+1=b_n+na_n，b₁=1，求b_n．

Answer 1

考点：数列递推式,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）在已知数列递推式中取n=n-1得另一递推式，和原递推式作差后即可证得数列{a_n+2}是等比数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中等比数列的通项公式求得数列{a_n}的通项公式，代入b_n+1=b_n+na_n后利用累加法得到{b_n}的表达式，然后利用分组求和及错位相减法求和得答案．

解答： （Ⅰ）证明：由a_n+S_n=-2n-1，得
a_n-1+S_n-1=-2（n-1）-1（n≥2），
则a_n-a_n-1+a_n=-2，2a_n-a_n-1=-2，
∴2a_n+4=a_n-1+2，an+2=

1

2

(an-1+2)，
在a_n+S_n=-2n-1中取n=1，得a1=-

3

2

，
∴数列{a_n+2}是以a1+2=

1

2

为首项，以

1

2

为公比的等比数列；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得，an+2=(

1

2

)n，
∴an=(

1

2

)n-2，
则b_n+1=b_n+na_n=bn+n[(

1

2

)n-2n]，
即bn+1-bn=n(

1

2

)n-2n2，
∴b2-b1=1×(

1

2

)-2×12，
b3-b2=2×(

1

2

)2-2×22，
…
bn-bn-1=(n-1)(

1

2

)n-1-2(n-1)2（n≥2），
累加得：bn=1×(

1

2

)+2×(

1

2

)2+…+(n-1)(

1

2

)n-1-2×

1

6

(n-1)n[2(n-1)+1]．
令Sn=1×(

1

2

)+2×(

1

2

)2+…+(n-1)(

1

2

)n-1，
则

1

2

Sn=1×(

1

2

)2+2×(

1

2

)3+…+(n-1)(

1

2

)n，
∴

1

2

Sn=

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1-(n-1)(

1

2

)n=

1 2 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-(n-1)(

1

2

)n，
∴Sn=2-

1

2n-2

-

n-1

2n-1

．
则bn=2-

1

2n-2

-

n-1

2n-1

-

1

3

(2n3-3n2+n)．
验证b₁=1不适合上式，
∴bn=

1，n=1 2- 1 2n-2 - n-1 2n-1 - 1 3 (2n3-3n2+n)，n≥2

．

点评：本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了数列的分组求和及错位相减法求数列的和，是中档题．