Question

（本题满分12分）如图,已知四棱锥中,是边长为的正三角形,平面平面,四边形是菱形,,是的中点,是的中点.

（Ⅰ）求证:平面.

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer 1

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用判定定理证明线面平行时，关键是在平面内找一条与已知直线平行的直线，解题时可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过平行线分线段成比例等；要证线线垂直，可通过征到线面垂直得到. （Ⅱ）使用空间向量求解空间角的关键是建立空间直角坐标系后，将空间角转化为向量的运算，然后借助于直线的方向向量和平面的法向量解决立体几何中的计算问题．二面角的范围是.

试题解析：证明(1)取的中点,连接.

由题意知且,且

,所以且,即

四边形是平行四边形,所以,

又平面,平面

所以平面.

(2)以为坐标原点,为轴,为轴,为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,,则

,平面的法向量,设是平面的法向量,

由,令,

得

又二面角的平面角是锐角,

所以二面角的平面角的余弦值是

考点：线面平行、二面角