试题分析:(1)将
代入函数f(x)解析式,求出函数f(x)的导函数,令导函数等于零,求出其根;然后列出x的取值范围与
的符号及f(x)的单调性情况表,从表就可得到函数f(x)的极值;(2)由题意首先求得:
,故应按
分类讨论:当a≤0时,易知函数f(x)在(-1,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,从而当b∈(0,1)时f(b)<f(0),所以不存在实数b∈(0,1),符合题意;当a>0时,令
有x=0或
,又要按根
大于零,小于零和等于零分类讨论;对各种情况求函数f(x)x∈(-1,b]的最大值,使其最大值恰为f(b),分别求得a的取值范围,然而将所得范围求并即得所求的范围;若求得的a的取值范围为空则不存在,否则存在.
试题解析:(1)当
时,
,
则
,化简得
(x>-1) 2分
列表如下:
x
| (-1,0)
| 0
| (0,1)
| 1
| (1,+)
|
| +
| 0
| -
| 0
| +
|
f(x)
| 增
| 极大值
| 减
| 极小值
| 增
|
∴函数f(x)在(-1,0),(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减,且f(0)=0,
, 4分
∴函数y=f(x)在x=1处取到极小值为
,
在x=0处取到极大值为0; 5分
(2)由题意
(1)当a≤0时,函数f(x)在(-1,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,
此时,不存在实数b∈(0,1),使得当x∈(-1,b]时,函数f(x)的最大值为f(b); 7分
(2)当a>0时,令
有x=0或
,
(ⅰ)当
即
时,函数f(x)在
和(0,+∞)上单调递增,在
上单调递减,要存在实数b∈(0,1),使得当x∈(-1,b]时,函数f(x)的最大值为f(b),则
,代入化简得
(1)
令
,因
恒成立,
故恒有
,∴
时,(1)式恒成立; 10分
(ⅱ)当
即
时,函数f(x)在
和
上单调递增,在
上单调递减,此时由题,只需
,解得
,又
,
∴此时实数a的取值范围是
; 12分
(ⅲ)当
时,函数f(x)在
上单调递增,
显然符合题意; 13分
综上,实数a的取值范围是
. 14分