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已知函数f(x)=ln(x+1)+ax2-x,a∈R.
(1)当时,求函数y=f(x)的极值;
(2)是否存在实数b∈(0,1),使得当x∈(-1,b]时,函数f(x)的最大值为f(b)?若存在,求实数a的取值范围,若不存在,请说明理由.
(1)在x=1处取到极小值为,在x=0处取到极大值为0;(2)

试题分析:(1)将代入函数f(x)解析式,求出函数f(x)的导函数,令导函数等于零,求出其根;然后列出x的取值范围与的符号及f(x)的单调性情况表,从表就可得到函数f(x)的极值;(2)由题意首先求得:,故应按分类讨论:当a≤0时,易知函数f(x)在(-1,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,从而当b∈(0,1)时f(b)<f(0),所以不存在实数b∈(0,1),符合题意;当a>0时,令有x=0或,又要按根大于零,小于零和等于零分类讨论;对各种情况求函数f(x)x∈(-1,b]的最大值,使其最大值恰为f(b),分别求得a的取值范围,然而将所得范围求并即得所求的范围;若求得的a的取值范围为空则不存在,否则存在.
试题解析:(1)当时,
,化简得(x>-1)     2分   
列表如下:
x
(-1,0)
0
(0,1)
1
(1,+)

+
0
-
0
+
f(x)

极大值

极小值

 
∴函数f(x)在(-1,0),(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减,且f(0)=0,, 4分
∴函数y=f(x)在x=1处取到极小值为
在x=0处取到极大值为0;      5分
(2)由题意
(1)当a≤0时,函数f(x)在(-1,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,
此时,不存在实数b∈(0,1),使得当x∈(-1,b]时,函数f(x)的最大值为f(b);      7分
(2)当a>0时,令有x=0或
(ⅰ)当时,函数f(x)在和(0,+∞)上单调递增,在上单调递减,要存在实数b∈(0,1),使得当x∈(-1,b]时,函数f(x)的最大值为f(b),则,代入化简得 (1)
,因恒成立,
故恒有,∴时,(1)式恒成立;    10分
(ⅱ)当时,函数f(x)在上单调递增,在上单调递减,此时由题,只需,解得,又
∴此时实数a的取值范围是;      12分
(ⅲ)当时,函数f(x)在上单调递增,
显然符合题意;      13分
综上,实数a的取值范围是.           14分
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1
x2
)
的导数为(  )
A.x+
1
x2
B.x-
1
x
C.2x+
1
x2
D.2x-
1
x2

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