Question

12．已知数列{a_n}中，a₁=t（t≠-1），且a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n}+n，n为奇数}\\{{a}_{n}-\frac{1}{2}n，n为偶数}\end{array}\right.$．
（1）证明：数列{a_2n+1}是等比数列；
（2）若数列{a_n}的前2n项和为S_2n：
①当t=1时，求S_2n；
②若{S_2n}单调递增，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：b_n=a_2n+1，则b₁=a₂+1，b₁=2（t+1）≠0，$\frac{{{b_{n+1}}}}{b_n}=\frac{{{a_{2（{n+1}）}}+1}}{{{a_{2n}}+1}}=\frac{{（{2{a_{2n+1}}+2n+1}）+1}}{{{a_{2n}}+1}}=\frac{{[{2（{{a_{2n}}-n}）+2n+1}]+1}}{{{a_{2n}}+1}}=\frac{{2（{{a_{2n}}+1}）}}{{{a_{2n}}+1}}=2$，数列{a_2n+1}是等比数列；
（2）${a_{2n}}=（{t+1}）•{2^n}-1=2{a_{2n-1}}+2n-1$，求得a_2n-1，${a_{2n-1}}+{a_{2n}}=3（{t+1}）•{2^{n-1}}-n-1$，分组即可求得S_2n=$3（{t+1}）•（{1+2+…+{2^{n-1}}}）-（{1+2+…+n}）-n=3（{t+1}）•（{{2^n}-1}）-\frac{{n（{n+3}）}}{2}$，①当t=1时，${S_{2n}}=6（{{2^n}-1}）-\frac{{n（{n+3}）}}{2}=3×{2^{n+1}}-\frac{{n（{n+3}）}}{2}-6$，
②${S_{2n}}-{S_{2n-2}}=3（{t+1}）•{2^{n-1}}-n-1＞0$对n≥2且n∈N^*恒成立，即$3（{t+1}）＞\frac{n+1}{{{2^{n-1}}}}$，设${P_n}=\frac{n+1}{{{2^{n-1}}}}，n≥2$，利用作差法，可得{P_n}在n≥2且n∈N^*单调递减，$3（{t+1}）＞\frac{3}{2}$，即可求得t的取值范围．

解答 解：（1）证明：设b_n=a_2n+1，则b₁=a₂+1，
∵a₂=2a₁+1=2t+1，
∴b₁=2（t+1）≠0，…（1分）
∵$\frac{{{b_{n+1}}}}{b_n}=\frac{{{a_{2（{n+1}）}}+1}}{{{a_{2n}}+1}}=\frac{{（{2{a_{2n+1}}+2n+1}）+1}}{{{a_{2n}}+1}}=\frac{{[{2（{{a_{2n}}-n}）+2n+1}]+1}}{{{a_{2n}}+1}}=\frac{{2（{{a_{2n}}+1}）}}{{{a_{2n}}+1}}=2$，…（3分）
∴数列{b_n}是公比为2的等比数列，故数列{a_2n+1}是等比数列，…（4分）
∴${b_n}={b_1}•{2^{n-1}}=2（{t+1}）•{2^{n-1}}=（{t+1}）•{2^n}$，
∴${a_{2n}}=（{t+1}）•{2^n}-1$，…（6分）
（2）由（1）得，${a_{2n}}=（{t+1}）•{2^n}-1=2{a_{2n-1}}+2n-1$，
∴${a_{2n-1}}=（{t+1}）•{2^{n-1}}-n$，…（7分）
∴${a_{2n-1}}+{a_{2n}}=3（{t+1}）•{2^{n-1}}-n-1$，…（8分）
∴S_2n=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_2n-1+a_2n），
=$3（{t+1}）•（{1+2+…+{2^{n-1}}}）-（{1+2+…+n}）-n=3（{t+1}）•（{{2^n}-1}）-\frac{{n（{n+3}）}}{2}$，…（10分）
①当t=1时，
∴${S_{2n}}=6（{{2^n}-1}）-\frac{{n（{n+3}）}}{2}=3×{2^{n+1}}-\frac{{n（{n+3}）}}{2}-6$；…（11分）
②∵{S_2n}单调递增，
∴${S_{2n}}-{S_{2n-2}}=3（{t+1}）•{2^{n-1}}-n-1＞0$对n≥2且n∈N^*恒成立，…（12分）
即$3（{t+1}）＞\frac{n+1}{{{2^{n-1}}}}$，设${P_n}=\frac{n+1}{{{2^{n-1}}}}，n≥2$，
则${P_{n+1}}-{P_n}=\frac{n+2}{2^n}-\frac{n+1}{{{2^{n-1}}}}=\frac{-n}{2^n}＜0$，
∴{P_n}在n≥2且n∈N^*单调递减，…（14分）
∵${P_2}=\frac{3}{2}$，
∴$3（{t+1}）＞\frac{3}{2}$，即$t＞-\frac{1}{2}$，
故t的取值范围为$（{-\frac{1}{2}，+∞}）$．…（16分）

点评 本题考查等比数列的证明，数列前n项和的求法，考查构造辅助函数及作差法求数列的单调性，考查数列与不等式的综合应用，属于难题．