Question

己知在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tanC=

ab

a2+b2-c2

．
（Ⅰ）求角C大小；     
（Ⅱ）当c=1时，求ab的取值范围．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系式化简已知条件，锐角求角C大小；     
（Ⅱ）利用第一问的结果，结合c=1，通过正弦定理，化简ab的表达式，利用两角和与差的三角函数化简为一个角的三角函数的形式，通过相位的范围，利用正弦函数的值域求解ab取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）由已知及余弦定理，化简tanC=

ab

a2+b2-c2

，
可得

sinC

cosC

=

ab

2abcosC

，
∴sinC=

1

2

，
∵C为锐角，∴C=30°．
（Ⅱ）由正弦定理，得

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=

1

1 2

=2，
∴a=2sinA，b=2sinB=2sin（A+30°），
ab=4sinAsinB=4sinAsin(A+

π

6

)
=4sinA(

3

2

sinA+

1

2

cosA)=2

3

sin2A+2sinAcosA
=

3

+sin2A-

3

cos2A
=

3

+2sin(2A-

π

3

)，
由

0°＜A＜90° 0°＜150°-A＜90°

，
可得：60°＜A＜90°，
∴60°＜2A-60°＜120°∴

3

2

＜sin(2A-

π

3

)≤1．
∴2

3

＜ab≤2+

3

．

点评：本题考查正弦定理以及余弦定理，两角和与差的三角函数，以及同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．