【题目】如图,四边形与
都是边长为
的正方形,点
是
的中点,
平面
.
(1)求证: 平面
;
(2)求证:平面平面
;
(3)求平面与平面
所成锐二面角的正切值.
【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3) .
【解析】试题分析:证明线面平行,利用线面平行的判定定理.本题借助三角形中位线定理可以得到线线平行,进而证明线面平行;证明面面垂直,利用面面垂直的判定定理,证明一个平面经过另一个平面的一条垂线,因此首先寻求线面垂直,只需证明直线与平面内的两条相交直线垂直,进而说明线面垂直,进而达到面面垂直;求二面角可利用法向量计算.
试题解析:
(1)设交
于
,连接
为正方形,所以
为
中点,
又为
的中点,
为
的中位线,
,
又平面
平面
,
平面
.
(2)为正方形,
平面
平面
又平面
.
平面
平面
平面
.
(3)由(2)已证平面
平面
,平面
平面
锐角
为平面
与平面
所成锐二面角的平面交
平面
,
在边长为的正方形中
,而
为所求.
法二:依条件有,以
为坐标原点,分别以
为
轴,
轴,
轴建立空间直角坐标系,则有
平面
平面
的一个法向量为
,设平面
的一个法向量为
则,可取
设平面与平面
所成锐二面角大小为
,
则,
为所求.
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【题目】已知下图中,四边形 ABCD是等腰梯形, ,
,
于M、交EF于点N,
,
,现将梯形ABCD沿EF折起,记折起后C、D为
、
且使
,如图示.
(Ⅰ)证明:
平面ABFE;,
(Ⅱ)若图6中, ,求点M到平面
的距离.
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【题目】已知在四棱锥中,底面
是矩形,且
,
,
平面
,
、
分别是线段
、
的中点.
(1)证明:
(2)在线段上是否存在点
,使得
∥平面
,若存在,确定点
的位置;若不存在,说明理由.
(3)若与平面
所成的角为
,求二面角
的余弦值
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【题目】若不等式(1-a)x2-4x+6>0的解集是{x|-3<x<1}.
(1)解不等式2x2+(2-a)x-a>0;
(2)b为何值时,ax2+bx+3≥0的解集为R.
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【题目】已知函数f(x)=bax(其中a,b为常量,且a>0,a≠1)的图象经过点A(1,6),B(3,24).
(1)求f(x)的表达式;
(2)设函数g(x)=f(x)﹣2×3x , 求g(x+1)>g(x)时x的取值范围.
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【题目】已知椭圆
的离心率为
,以原点为圆心,椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线
相切.
、
是椭圆的左、右顶点,直线
过
点且与
轴垂直.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设是椭圆
上异于
、
的任意一点,作
轴于点
,延长
到点
使得
,连接
并延长交直线
于点
,
为线段
的中点,判断直线
与以
为直径的圆
的位置关系,并证明你的结论.
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【题目】已知椭圆
的离心率为
,以原点为圆心,椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线
相切.
、
是椭圆的左、右顶点,直线
过
点且与
轴垂直.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设是椭圆
上异于
、
的任意一点,作
轴于点
,延长
到点
使得
,连接
并延长交直线
于点
,
为线段
的中点,判断直线
与以
为直径的圆
的位置关系,并证明你的结论.
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【题目】已知直线l与圆C:x2+y2+2x﹣4y+a=0相交于A,B两点,弦AB的中点为M(0,1).
(1)若圆C的半径为,求实数a的值;
(2)若弦AB的长为6,求实数a的值;
(3)当a=1时,圆O:x2+y2=2与圆C交于M,N两点,求弦MN的长.
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【题目】已知f(x)是定义在(﹣∞,+∞)上的偶函数,且在(﹣∞,0]上是增函数,设a=f(log47),b=f(log 3),c=f(21.6),则a,b,c的大小关系是( )
A.c<a<b
B.c<b<a
C.b<c<a
D.a<b<c
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