Question

7．如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是边长为2的正方形，E，F分别为线段DD₁，BD的中点．
（1）求证：EF∥平面ABC₁D₁；
（2）四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的外接球的表面积为16π，求异面直线EF与BC所成的角的大小．

Answer 1

分析 （1）连接BD₁，由中位线定理证明EF∥D₁B，由线面平行的判定定理证明EF∥平面ABC₁D₁；
（2）由（1）和异面直线所成角的定义，得异面直线EF与BC所成的角是∠D₁BC，由题意和球的表面积公式求出外接球的半径，由勾股定理求出侧棱AA₁的长，由直四棱柱的结构特征和线面垂直的定义，判断出BC⊥CD₁，在RT△CC₁D₁中求出tan∠D₁BC，求出∠D₁BC可得答案．

解答 解：（1）连接BD₁，在△DD₁B中，E、F分别为线段DD₁、BD的中点，
∴EF为中位线，∴EF∥D₁B，
∵D₁B?面ABC₁D₁，EF?面ABC₁D₁，
∴EF∥平面ABC₁D₁；
（2）由（1）知EF∥D₁B，故∠D₁BC即为异面直线EF与BC所成的角，
∵四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的外接球的表面积为16π，
∴四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的外接球的半径R=2，
设AA₁=a，则$\frac{1}{2}\sqrt{{a}^{2}+4+4}=2$，解得a=$2\sqrt{2}$，
在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵BC⊥平面CDD₁C₁，CD₁?平面CD-D₁C₁，
∴BC⊥CD₁，在RT△CC₁D₁中，BC=2，CD₁=$2\sqrt{3}$，D₁C⊥BC，
∴tan∠D₁BC=$\frac{{D}_{1}C}{BC}=\sqrt{3}$，则∠D₁BC=60°，
∴异面直线EF与BC所成的角为60°．

点评 本题考查了异面直线所成角的定义以及求法，线面平行的判定定理，球的表面积公式，以及直四棱柱的结构特征，属于中档题．