Question

2．已知点M（3，0），两直线l₁：2x-y-2=0与l₂：x+y+3=0．
（1）过点M的直线l与l₁，l₂相交于P，Q两点，且线段PQ恰好被M所平分，求直线l的方程；
（2）求l₁关于l₂对称的直线l₃的方程．

Answer 1

分析 （1）过点M的直线l与l₁，l₂相交于P，Q两点，且线段PQ恰好被M所平分，设直线l的方程为y=k（x-3），与与l₁，l₂相交于P，Q两点的中点坐标为（3，0），解得k，可得直线l的方程；
（2）直线l₁关于l₂对称的直线l₃过直线l₁和直线l₂的交点，直线l₃与l₁，l₂的夹角相等，利用夹角公式求出斜率k，点斜式可得直线l₃的方程．

解答 解：（1）由题意：直线l与直线l₁和直线l₂的交点，直线l₁：2x-y-2=0与l₂：x+y+3=0，
设：直线l的方程为y=k（x-3），
联立$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-2=0}\\{y=k（x-3）}\end{array}\right.$：解得：x=$\frac{3k-3}{1+k}$．
联立：$\left\{\begin{array}{l}{x+y+3=0}\\{y=k（x-3）}\end{array}\right.$解得：x=$\frac{3k-3}{1+k}$，
根据中点坐标公式：$\frac{3k-3}{1+k}$+$\frac{3k-3}{1+k}$=6，
解得：k=8，
所以：直线l的方程为：8x-y-24=0．
直线l₁关于l₂对称的直线l₃过直线l₁和直线l₂的交点，直线l₁和直线l₂联立：$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-2=0}\\{x+y+3=0}\end{array}\right.$，
解得：交点坐标为（-$\frac{1}{3}$，-$\frac{8}{3}$），
设直线l₃的方程的斜率为k，
根据直线l₃与l₁，l₂的到角相等可得：$3=\frac{1+k}{1-k}$，
解得：k=$\frac{1}{2}$，
直线l₃过交点（-$\frac{1}{3}$，-$\frac{8}{3}$），
由点斜式可得：$y+\frac{8}{3}=\frac{1}{2}（x+\frac{1}{3}）$，
所以直线l₃的方程为：x-2y-5=0．

点评 本题考查了点与直线的对称关系和直线与直线的对称问题，属于中档题．