Question

12．定义在R上的函数f（x）满足f（x）＞1-f′（x），若f（0）=6，则不等式f（x）＞1+$\frac{5}{e^x}$（e为自然对数的底数）的解集为（　　）

• A． （0，+∞）
• B． （5，+∞）
• C． （-∞，0）∪（5，+∞）
• D． （-∞，0）

Answer 1

分析 构造函数g（x）=e^xf（x）-e^x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解

解答 解：设g（x）=e^xf（x）-e^x，（x∈R），
则g′（x）=e^xf（x）+e^xf′（x）-e^x=e^x[f（x）+f′（x）-1]，
∵f'（x）＞1-f（x），
∴f（x）+f′（x）-1＞0，
∴g′（x）＞0，
∴y=g（x）在定义域上单调递增，
∵f（x）＞1+$\frac{5}{e^x}$，
∴e^xf（x）＞e^x+5，
∴g（x）＞5，
又∵g（0）=e⁰f（0）-e⁰=6-1=5，
∴g（x）＞g（0），
∴x＞0，
∴不等式的解集为（0，+∞）．
故选：A．

点评 本题考查函数的导数与单调性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．