Question

4．在平面直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），直线l的极坐标方程为ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=a，且点A在直线l上．
（1）求a的值及直线l的直角坐标方程；
（2）已知曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=4+5cost\\ y=3+5sint\end{array}\right.$，（t为参数），直线l与C交于M，N两点，求弦长|MN|．

Answer 1

分析 （1）利用点A在直线l上，求出a的值，即可得出直线l的直角坐标方程；
（2）求出圆心到直线的距离，利用勾股定理，即可得出结论．

解答 解：（1）∵点A的极坐标为（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），直线l的极坐标方程为ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=a，且点A在直线l上，
∴a=$\sqrt{2}$，
∴ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，
∴ρcosθ+ρsinθ=2，
∴x+y-2=0；
（2）曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=4+5cost\\ y=3+5sint\end{array}\right.$，（t为参数），普通方程为（x-4）²+（y-3）²=25，
∴C的轨迹是以C（4，3）为圆心，5为半径的圆，
圆心到直线的距离d=$\frac{5}{\sqrt{2}}$，
∴|MN|=2$\sqrt{25-\frac{25}{2}}$=5$\sqrt{2}$．

点评 本题考查极坐标与直角坐标，参数方程与普通方程的互化，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．