Question

17．已知函数f（x）=2sin（3x-$\frac{π}{3}$），x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期，单调减区间；
（2）若x∈[0，$\frac{π}{2}$]，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数最小正周期的公式T=$\frac{2π}{ω}$求得周期，令2kπ+$\frac{π}{2}$≤3x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，解得函数f（x）单调减区间．
（2）由已知可求3x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]，利用正弦函数的性质可求其值域．

解答 解：（1）∵f（x）=2sin（3x-$\frac{π}{3}$），函数解析式中w=3，
∴函数的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{3}$，
∵令2kπ+$\frac{π}{2}$≤3x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，解得：$\frac{2kπ}{3}$+$\frac{5π}{18}$≤x≤$\frac{2kπ}{3}$+$\frac{11π}{18}$，k∈Z，
∴函数f（x）单调减区间为：[$\frac{2kπ}{3}$+$\frac{5π}{18}$，$\frac{2kπ}{3}$+$\frac{11π}{18}$]，k∈Z．
（2）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴3x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴f（x）=2sin（3x-$\frac{π}{3}$）∈[-$\sqrt{3}$，2]，即f（x）的值域为[-$\sqrt{3}$，2]．

点评 本题主要考查了三角函数的周期性及其求法．考查了正弦函数的图象和性质的应用，要熟练记忆三角函数中最小正周期的公式，属于基础题．