Question

6．如图所示，△ABC中，D为AC的中点，AB=2，BC=$\sqrt{7}$，∠A=$\frac{π}{3}$．
（1）求cos∠ABC的值；
（2）求BD的值．

Answer 1

分析 （1）在△ABC中利用正弦定理可求sinC，利用大边对大角可得C为锐角，利用同角三角函数基本关系式可求cosC，利用两角差的余弦函数公式即可计算得解cos∠ABC的值．
（2）由已知在△ABC中，利用余弦定理可求AC，进而在△ABD中，利用余弦定理可求BD．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵在△ABC中，$\frac{AB}{sinC}=\frac{BC}{sinA}$，sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴sinC=$\frac{ABsinA}{BC}$=$\frac{2×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$，由BC＞AB，可得：A＞C，C为锐角，
∴cosC=$\sqrt{1-si{n}^{2}C}$=$\frac{2}{\sqrt{7}}$，
∴cos∠ABC=cos（$\frac{2π}{3}$-C）=cos$\frac{2π}{3}$cosC+sin$\frac{2π}{3}$sinC=$\frac{\sqrt{7}}{14}$．（6分）
（2）∵AB=2，BC=$\sqrt{7}$，cos∠ABC=$\frac{\sqrt{7}}{14}$．
∴在△ABC中，AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos∠ABC=9，可得：AC=3，
∴在△ABD中，BD²=AB²+AD²-2AB×ADcosA=$\frac{13}{4}$，
∴BD=$\frac{\sqrt{13}}{2}$．…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，大边对大角，同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．