Question

2．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且acosB-bcosA=$\frac{1}{2}$c，当tan（A-B）取最大值时，角B的值为$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 acosB-bcosA=$\frac{1}{2}$c，由正弦定理定理可得：sinAcosB-sinBcosA=$\frac{1}{2}$sinC=$\frac{1}{2}$sin（A+B），化为：tanA=3tanB＞0，代入tan（A-B），再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：在△ABC中，∵acosB-bcosA=$\frac{1}{2}$c，由正弦定理定理可得：sinAcosB-sinBcosA=$\frac{1}{2}$sinC=$\frac{1}{2}$sin（A+B），
化为：tanA=3tanB＞0，
∴tan（A-B）=$\frac{tanA-tanB}{1+tanAtanB}$=$\frac{2tanB}{1+3ta{n}^{2}B}$=$\frac{2}{\frac{1}{tanB}+3tanB}$≤$\frac{2}{2\sqrt{\frac{1}{tanB}•3tanB}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，当且仅当tanB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即B=$\frac{π}{6}$时取等号．
故答案为：$\frac{π}{6}$．

点评 本题考查了正弦定理、和差公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．