Question

10．若函f（x）=sin²ax-sinaxcosax（a＞0）的图象与直y=m（m＞0）相切，并且切点的横坐标依次成公差$\frac{π}{2}$的等差数列．
（Ⅰ）m的值；
（Ⅱ）若A（x₀，y₀）y=f（x）图象的对称中心，x₀∈[0，$\frac{π}{2}$]，求A的坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用倍角公式降幂，然后利用两角和的正弦化积，由题意可得m为f（x）的最大值，则m的值可求；
（Ⅱ）由题意可得函数f（x）的周期为$\frac{π}{2}$，从而求得a=2，代入函数解析式，由相位的终边落在x轴上得答案．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=sin²ax-sinaxcosax=$\frac{1-cos2ax}{2}-\frac{1}{2}sin2ax$=$-\frac{\sqrt{2}}{2}sin（2ax+\frac{π}{4}）+\frac{1}{2}$，
由题意知，m为f（x）的最大值，∴m=$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$；
（Ⅱ）由题设知，函数f（x）的周期为$\frac{π}{2}$，∴a=2，
∴$f（x）=-\frac{\sqrt{2}}{2}sin（4x+\frac{π}{4}）+\frac{1}{2}$．
令$sin（4x+\frac{π}{4}）=0$，得$4x+\frac{π}{4}=kπ$（k∈Z），∴$x=\frac{kπ}{4}-\frac{π}{16}$（k∈Z），
由0$≤\frac{kπ}{4}-\frac{π}{16}≤\frac{π}{2}$（k∈Z），得k=1或k=2，
因此点A的坐标为$（\frac{3π}{16}，\frac{1}{2}）$或$（\frac{7π}{16}，\frac{1}{2}）$．

点评 本题考查三角函数最值的求法，考查了三角函数的图象和性质，是基础题．