Question

11．在锐角三角形ABC中，c=asinB．则实数sinC的最大值是$\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 由已知利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得tanC=$\frac{1}{\frac{1}{ta{n}^{2}A}-\frac{1}{tanA}+1}$，由A∈（0，$\frac{π}{2}$），可求$\frac{1}{tanA}$∈（0，+∞），利用二次函数的性质可求$\frac{1}{ta{n}^{2}A}-\frac{1}{tanA}+1$∈（$\frac{3}{4}$，+∞），进而可得tanC∈（0，$\frac{4}{3}$]，从而可求sinC的最大值．

解答 解：∵c=asinB，
∴sinC=sinAsinB=sinAsin（A+C）=sin²AcosC+sinAcosAsinC，
∴sinC（1-sinAcosA）=sin²AcosC，
∴tanC=$\frac{si{n}^{2}A}{1-sinAcosA}$=$\frac{ta{n}^{2}A}{ta{n}^{2}A-tanA+1}$=$\frac{1}{\frac{1}{ta{n}^{2}A}-\frac{1}{tanA}+1}$，
∵A∈（0，$\frac{π}{2}$），tanA∈（0，+∞），
∴$\frac{1}{tanA}$∈（0，+∞），
∴$\frac{1}{ta{n}^{2}A}-\frac{1}{tanA}+1$∈（$\frac{3}{4}$，+∞），
∴tanC∈（0，$\frac{4}{3}$]，可得：sinC∈（0，$\frac{4}{5}$]，
∴sinC的最大值为$\frac{4}{5}$．
故答案为：$\frac{4}{5}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，二次函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．