Question

7．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-lnx-x，x＞0}\\{-ln（-x）+x，x＜0}\end{array}\right.$，则关于m的不等式f（$\frac{1}{m}$）＜ln$\frac{1}{2}$-2的解集为（-$\frac{1}{2}$，0）∪（0，$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 可判断f（x）是（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，再由函数的单调性解不等式．

解答 解：当x＜0时，f（-x）=-ln（-（-x））-x=-lnx-x=f（x），
故f（x）是（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数；
当x＞0时，f（x）=-lnx-x为减函数，
而ln$\frac{1}{2}$=-ln2-2=f（2），
故f（$\frac{1}{m}$）＜ln$\frac{1}{2}$-2=f（2），
故$\frac{1}{m}$＞2，
故0＜m＜$\frac{1}{2}$；
由f（x）是（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数知，
-$\frac{1}{2}$＜m＜0；
综上所述，m∈（-$\frac{1}{2}$，0）∪（0，$\frac{1}{2}$），
故答案为：（-$\frac{1}{2}$，0）∪（0，$\frac{1}{2}$）

点评 本题考查了分段函数的性质的判断与应用，同时考查了分类讨论的思想方法应用．