Question

15．设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知，a₁=2，且4S₁，3S₂，2S₃成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的公比q
（Ⅱ）设b_n=n+a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）由4S₁，3S₂，2S₃成等差数列．可得2×3S₂=4S₁+2S₃．即6a₁（1+q）=4a₁+2a₁（1+q+q²），a₁≠0，解得q．
（II）由（I）可得：a_n=2ⁿ．b_n=n+a_n=n+2ⁿ，利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（I）∵4S₁，3S₂，2S₃成等差数列．∴2×3S₂=4S₁+2S₃．
∴6a₁（1+q）=4a₁+2a₁（1+q+q²），a₁≠0，
化为：q²-2q=0，q≠0，解得q=2．
（II）由（I）可得：a_n=2ⁿ．
b_n=n+a_n=n+2ⁿ．
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$
=$\frac{n（n+1）}{2}$+2ⁿ⁺¹-2．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．