Question

3．在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，△ABC为正三角形，D、E分别为BC、CA的中点，F为CD的中点．若在线段PB上存在一点Q，使得平面ADQ∥平面PEF．
（1）求$\frac{PQ}{QB}$的值；
（2）设AB=PA=4，求三棱锥Q-PEF的体积；
（3）在第2问的前提下，若平面QEF与线段PA交于点M，求AM．（注：本小问文科生不做，理科生做）

Answer 1

分析 （1）由平面ADQ∥平面PEF，结合面面平行的性质得DQ∥PF，AQ∥EF，再由平行线截线段成比例得$\frac{PQ}{QB}$的值；
（2）直接利用等积法求得三棱锥Q-PEF的体积；
（3）连PD、QF交于点O，过O在平面PAD内作AD的平行线OM交PA于点M，则M点为所求点，再由平行线截线段成比例得AM．

解答 解（1）由平面ADQ∥平面PEF，得DQ∥PF，AQ∥EF，
∴$\frac{PQ}{QB}=\frac{DF}{BD}=\frac{1}{2}$；
（2）V_Q-PEF=V_D-PEF=$\frac{1}{3}{V}_{B-PEF}=\frac{1}{3}{V}_{P-BEF}$=$\frac{1}{3}•（\frac{3}{4}•\frac{1}{2}•2•2\sqrt{3}）•4$=$2\sqrt{3}$；
（3）连PD、QF交于点O，过O在平面PAD内作AD的平行线OM交PA于点M，则M点为所求点，
∴$\frac{PM}{AM}=\frac{PO}{OD}=\frac{PF}{QD}=\frac{BF}{BD}=\frac{3}{2}$，
∴$\frac{AM}{AP}=\frac{2}{5}$，则$AM=\frac{2}{5}AP=\frac{8}{5}$．

点评 本题考查平面与平面平行的性质，训练了利用等积法求多面体的体积，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．