Question

13．分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程：
（1）短轴长为6，两个焦点间的距离为8；
（2）离心率e=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且椭圆经过点（4，2$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 （1）由短轴长求出b，再由两个焦点间的距离求出c则椭圆的标准方程可求；
（2）由已知得到方程组，求解即可得答案．

解答 解：（1）短轴长为6，则2b=6 故b=3，两个焦点间的距离为8，即2c=8，c=4，
又a²=b²+c²，
∴a²=25．
∴椭圆的标准方程是$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$．
（2）∵离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，经过点（4，2$\sqrt{3}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{16}{{a}^{2}}+\frac{12}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，
解得：a²=8，b²=2．
∴椭圆的标准方程是$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．

点评 本题考查了椭圆的简单性质，考查了椭圆的标准方程，是中档题．