Question

3．设f（x）是定义在R上的函数，对任意实数m，n，都有f（m）f（n）=f（m+n），且当x＜0时，0＜f（x）＜1．
（1）证明：①f（0）=1；②当x＞0时，f（x）＞1；③f（x）是R上的增函数；
（2）设a∈R，试解关于x的不等式f（x²-3ax+1）f（-3x+6a+1）≤1．

Answer 1

分析 （1）①利用赋值法，转化求解即可．②判断函数的范围，通过f（0）=f[x+（-x）]转化求解证明即可．③利用函数的单调性的定义证明即可．
（2）利用已知条件化简表达式，利用函数的单调性，推出不等式，然后求解不等式的解集．

解答 解：（1）证明：①在f（m）f（n）=f（m+n）中，令m=n=0，
得f（0）f（0）=f（0+0）即f（0）=f（0）²，∴f（0）=0或1，
若f（0）=0，则当x＞0时，有f（x）f（0）=f（x）=0与题设矛盾，
∴f（0）=1；
②当x＞0时，-x＜0，由已知得0＜f（-x）＜1，
又f（0）=f[x+（-x）]=f（x）f（-x）=1，0＜f（-x）＜1，∴$f（x）=\frac{1}{{f（{-x}）}}＞1$，
即x＞0时，f（x）＞1；
③任取x₁＜x₂，由①②及已知条件知x∈R时，f（x）＞0，
则$\frac{{f（{x_2}）}}{{f（{x_1}）}}=f（{{x_2}-{x_1}}）$，∵x₂-x₁＞0，∴f（x₂-x₁）＞1，又因为f（x₁）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴y=f（x）在定义域R上为增函数；
（2）f（x²-3ax+1）•f（-3x+6a+1）=f（x²-3ax+1-3x+6a+1）=f[x²-3（a+1）x+2（3a+1）]，
又f（0）=1，f（x）在R上单调递增，
∴原不等式等价于x²-3（a+1）x+2（3a+1）≤0，
不等式可化为（x-2）[x-（3a+1）]≤0，
∴当2＜3a+1，即$a＞\frac{1}{3}$时，2≤x≤3a+1；
当2=3a+1，即$a=\frac{1}{3}$时，x=2；
当2＞3a+1，即$a＜\frac{1}{3}$时，3a+1≤x≤2．

点评 本题考查抽象函数的应用，函数的单调性以及反证法的应用，考查分类讨论思想以及转化思想的应用．