Question

11．已知函数f（x）=lnx-ax，
（1）当a=1时，求函数f（x）在x=e处的切线方程；
（2）当a=2时，求函数f（x）的极值；
（3）求函数f（x） 在[1，e]上 的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f（e），f′（e）的值，从而求出切线方程即可；
（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极大值即可；
（3）求出导数，讨论m的范围，当m≤0时，当m＞0时，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间，从而求出函数的最大值即可；

解答 解：（1）a=1时，f（x）=lnx-x，f′（x）=$\frac{1}{x}$-1，
f（e）=1-e，f′（e）=$\frac{1}{e}$-1，
故切线方程是：y-1+e=（$\frac{1}{e}$-1）（x-e），
即y=（$\frac{1}{e}$-1）x；
（2）a=2时，f（x）=lnx-2x，（x＞0），
f′（x）=$\frac{1}{x}$-2=$\frac{1-2x}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜$\frac{1}{2}$，
令f′（x）＜0，解得：x＞$\frac{1}{2}$，
故f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）递增，在（$\frac{1}{2}$，+∞）递减，
故f（x）_极大值=f（$\frac{1}{2}$）=-1-ln2；
（3）∵f′（x）=$\frac{1}{x}$-a，（x＞0），
当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，
则单调递增区间为（0，+∞），无单调减区间；
故f（x）在[1，e]上单调递增，
f_max（x）=f（e）=lne-me=1-ae，
当a＞0时，由f′（x）＞0得 0＜x＜$\frac{1}{a}$，
由f′（x）＜0，得x＞$\frac{1}{a}$，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）递增，在（$\frac{1}{a}$，+∞）递减，
①若0＜$\frac{1}{a}$≤1，即m≥1时，f_max（x）=f（1）=-m，
②若1＜$\frac{1}{a}$＜e，即$\frac{1}{e}$＜a＜1时，f_max（x）=f（$\frac{1}{a}$）=ln$\frac{1}{a}$-1=-lna-1，
③若$\frac{1}{a}$≥e，即a≤$\frac{1}{e}$时，f_max（x）=f（e）=lne-ae=1-ae，
综上：当a≤$\frac{1}{e}$，f_max（x）=1-ae，$\frac{1}{e}$＜a＜1时，f_max（x）=-lna-1，
a≥1时，f_max（x）=f（1）=-a．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值和最值，主要考查导数的几何意义和函数的单调性的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．