Question

3．我国的烟花名目繁多，花色品种繁杂．其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂，通过研究，发现该型烟花爆裂时距地面的高度h（单位：米）与时间t（单位：秒）存在函数关系，并得到相关数据如下表：

时间t	$\frac{1}{2}$	2	4
高度h	10	25	17

（ I）根据上表数据，从下列函数中，选取一个函数描述该型烟花爆裂时距地面的高度h与时间t的变化关系：y₁=kt+b，y₂=at²+bt+c，y₃=ab^t，确定此函数解析式，并简单说明理由；
（ II）利用你选取的函数，判断烟花爆裂的最佳时刻，并求出此时烟花距地面的高度．

Answer 1

分析 （I）由表中数据分析可知，烟花距地面的高度随时间的变化呈先上升再下降的趋势，则在给定的三类函数中，只有y₂可能满足，设h（t）=at²+bt+c，利用待定系数法将表格所提供的三组数据代入，列方程组求出函数解析式；
（II）由二次函数的图象与性质，求出即可．

解答 解：（I）由表中数据分析可知，烟花距地面的高度随时间的变化呈先上升再下降的趋势，则在给定的三类函数中，只有y₂可能满足，故选择取该函数．…（3分）
设h（t）=at²+bt+c，有$\left\{{\begin{array}{l}{10=\frac{1}{4}a+\frac{1}{2}b+c}\\{25=4a+2b+c}\\{17=16a+4b+c}\end{array}}\right.\;，⇒\left\{{\begin{array}{l}{a=-4}\\{b=20}\\{c=1}\end{array}}\right.$．…（6分）
所以h（t）=-4t²+20t+1（t≥0），…（8分）
（Ⅱ）$h（t）=-4{t^2}+20t+1=-4（{t^2}-5t）+1=-4{（t-\frac{5}{2}）^2}+26$，…（10分）
∴当烟花冲出后2.5s是爆裂的最佳时刻，此时距地面的高度为26米．…（12分）

点评 本题考查了二次函数模型的应用问题，也考查了利用二次函数的图象与性质求函数最值的问题，确定函数的模型是解题关键．