Question

12．已知等差数列{a_n}中，a₁=2，a₃+a₅=10．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=a_n•2n，求数列{$\frac{1}{{b}_{n}}$ }的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由题意可得a₄=5，进而可得公差d=1，可得数列{a_n}的通项公式；
（2）求得b_n=a_n•2n=2n（n+1），再由数列的求和方法：裂项相消法，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和．

解答 解：（1）∵在等差数列{a_n}中a₁=2，a₃+a₅=10，
∴2a₄=a₃+a₅=10，
解得a₄=5，
∴公差d=$\frac{{a}_{4}-{a}_{1}}{4-1}$=1，
∴a_n=a₁+（n-1）d=2+n-1=n+1；
（2）∵b_n=a_n•2n=2n（n+1），
∴$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{2n（n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴S_n=$\frac{1}{2}$[（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）]=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{n}{2（n+1）}$．

点评 本题考查等差数列的通项公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消法，同时考查等比数列的求和公式的运用，属于中档题．