Question

2．函数f（x）=lnx+$\frac{1}{2}{x^2}$+ax存在与直线3x-y=0平行的切线，则实数a的取值范围是（-∞，1]．

Answer 1

分析 函数f（x）=lnx+$\frac{1}{2}{x^2}$+ax存在与直线3x-y=0平行的切线?方程f′（x）=$\frac{1}{x}$+x+a在区间x∈（0，+∞）上有解，求出a=3-（x+$\frac{1}{x}$）右边的范围，运用基本不等式即可得到．

解答 解：函数f（x）=lnx+$\frac{1}{2}{x^2}$+ax的导数为f′（x）=$\frac{1}{x}$+x+a（x＞0），
∵函数f（x）=lnx+$\frac{1}{2}{x^2}$+ax存在与直线3x-y=0平行的切线，
∴方程 $\frac{1}{x}$+x+a=3在区间x∈（0，+∞）上有解．
即a=3-（x+$\frac{1}{x}$）在区间x∈（0，+∞）上有解．
由x＞0，x+$\frac{1}{x}$$≥2\sqrt{x•\frac{1}{x}}$=2，
∴a≤3-2=1．
故答案为：（-∞，1]．

点评 本题考查了导数的几何意义、切线的斜率、相互平行的直线之间的斜率关系、存在性问题的等价转化等基础知识与基本技能方法，属于中档题．