Question

18．已知函数f（x）=x²-2x（x∈[-1，2]）的值域为集合A，g（x）=ax+2（x∈[-1，2]）的值域为集合B．若A⊆B，则实数a的取值范围是$（-∞，-\frac{3}{2}]∪[3，+∞）$．

Answer 1

分析 求解出集合A，B，根据A⊆B，建立条件关系即可求实数a的取值范围．

解答 解：函数f（x）=x²-2x（x∈[-1，2]）
开口向上，对称轴为x=1，
x∈[-1，2]，
函数f（x）的值域为[-1，3]．
故得集合A=[-1，3]．
函数g（x）=ax+2（x∈[-1，2]）
当a=0时，值域为{2}，即集合B={2}
当a＞0时，值域为[2-a，2a+2]，即集合B=[2-a，2a+2]，
当a＜0时，值域为[2a+2，-a+2]，即集合B=[2a+2，-a+2]，
∵A⊆B，
当a=0时，集合B={2}，不满足题意．
当a＞0时，要使A⊆B成立，则需$\left\{\begin{array}{l}{2-a≤-1}\\{2a+2≥3}\end{array}\right.$，
解得：a≥3．
当a＜0时，要使A⊆B成立，则需$\left\{\begin{array}{l}{2a+2≤-1}\\{2-a≥3}\end{array}\right.$
解得：a$≤-\frac{3}{2}$
综上所得实数a的取值范围是$（-∞，-\frac{3}{2}]∪[3，+∞）$．

点评 本题主要考查集合的基本运算，值域的求法和讨论的思想．属于中档题．