Question

16．在△ABC中，A=$\frac{π}{4}$，cosB=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
（1）求cosC；
（2）设BC=$\sqrt{5}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinB，利用三角形内角和定理，诱导公式，两角和的余弦函数公式即可计算cosC的值．
（2）由（1）利用同角三角函数基本关系式可求sinC，利用正弦定理可求AC的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：（1）∵cosB=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
∴sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴cosC=-cos（A+B）=sinAsinB-cosAcosB=$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{3\sqrt{10}}{10}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{10}}{10}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
（2）∵cosC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∵AC=$\frac{BCsinB}{sinA}$=$\frac{\sqrt{5}×\frac{3\sqrt{10}}{10}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=3，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AC•sinC=$\frac{1}{2}×$$\sqrt{5}$×3×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=3．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，诱导公式，两角和的余弦函数公式，正弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．