Question

4．已知$\overrightarrow a$=（tan（θ+$\frac{π}{12}$），1），$\overrightarrow b$=（1，-2），且$\overrightarrow a$⊥$\overrightarrow b$，则tan（2θ+$\frac{5π}{12}$）=$-\frac{1}{7}$．

Answer 1

分析 由题意可得tan（θ+$\frac{π}{12}$）×1-2=0，化简后可得：tan（θ+$\frac{π}{12}$）=2，由二倍角的正切函数公式可求tan（2θ+$\frac{π}{6}$）的值，利用特殊角的三角函数值及两角和的正切函数公式即可计算得解．

解答 解：∵$\overrightarrow a$=（tan（θ+$\frac{π}{12}$），1），$\overrightarrow b$=（1，-2），且$\overrightarrow a$⊥$\overrightarrow b$，
∴tan（θ+$\frac{π}{12}$）×1-2=0，可得：tan（θ+$\frac{π}{12}$）=2，
∴tan（2θ+$\frac{π}{6}$）=$\frac{2tan（θ+\frac{π}{12}）}{1-ta{n}^{2}（θ+\frac{π}{12}）}$=-$\frac{4}{3}$，
∴tan（2θ+$\frac{5π}{12}$）=tan（2θ+$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{4}$）=$\frac{tan（2θ+\frac{π}{6}）+tan\frac{π}{4}}{1-tan（2θ+\frac{π}{6}）tan\frac{π}{4}}$=$\frac{-\frac{4}{3}+1}{1-（-\frac{4}{3}）×1}$=$-\frac{1}{7}$．
故答案为：$-\frac{1}{7}$．

点评 本题考查三角函数值得求解，涉及向量的垂直和数量积的关系，属基础题．