Question

14．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，$\frac{3}{4}$），$\overrightarrow{b}$=（cosx，-1）．
（1）当$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$时，求cos²x-sin2x的值；
（2）设函数f（x）=2（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{b}$，已知f（$\frac{α}{2}$）=$\frac{3}{4}$，α∈（$\frac{π}{2}$，π），求sinα的值．

Answer 1

分析 （1）根据向量关系的坐标关系进行转化，结合三角函数的性质进行求解即可．
（2）根据向量数量积的公式求出函数f（x）的解析式，结合三角函数的公式进行化简求解．

解答 解：（1）因为a∥b，所以$\frac{3}{4}$cosx+sinx=0，
所以tanx=-$\frac{3}{4}$．
故cos²x-sin2x=$\frac{cos^2x-2sinxcosx}{sin^2x+cos^2x}$=$\frac{1-2tanx}{1+tan^2x}$=$\frac{1-2×（-\frac{3}{4}）}{1+（-\frac{3}{4}）^{2}}$=$\frac{8}{5}$．
（2）f（x）=2（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{b}$=2sinxcosx-$\frac{3}{2}$+2（cos²x+1）=sin2x+cos2x+$\frac{3}{2}$=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{3}{2}$，
因为f（$\frac{α}{2}$）=$\frac{3}{4}$，所以f（$\frac{α}{2}$）=$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）+$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{4}$，即sin（α+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{3\sqrt{2}}{8}$，
因为α∈（$\frac{π}{2}$，π），所以$\frac{3π}{4}$＜α+$\frac{π}{4}$＜$\frac{5π}{4}$，
故cos（α+$\frac{π}{4}$）=-$\sqrt{1-（\frac{3\sqrt{2}}{8}）^{2}}$=-$\frac{\sqrt{46}}{8}$，
所以sinα=sin[α+$\frac{π}{4}$-$\frac{π}{4}$]=$\frac{\sqrt{2}}{2}$[sin（α+$\frac{π}{4}$）-cos（α+$\frac{π}{4}$）]=$\frac{\sqrt{2}}{2}×（-\frac{3\sqrt{2}}{8}+\frac{\sqrt{46}}{8}）$=$\frac{-3+\sqrt{23}}{8}$．

点评 本题主要考查向量数量积的应用以及向量共线的坐标公式，以及向量和三角函数的综合应用，根据向量数量积的关系求出函数，结合三角函数的性质是解决本题的关键．