Question

12．如图，过抛物线x²=4y的对称轴上一点P（0，m）（m＞0）作直线l₁，l₁与抛物线交于A，B两点．
（Ⅰ）若$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$＜0（O为坐标原点），求实数m的取值范围；
（Ⅱ）过点P且与l₁垂直的直线l₂与抛物线交于C，D两点，设AB，CD的中点分别为M，N，求证：直线MN必过定点，并求出该定点坐标（用m表示）．

Answer 1

分析 （I）设l₁：y=kx+m，与抛物线方程联立方程组消元，根据根与系数的关系计算x₁x₂，y₁y₂，则由$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$＜0得x₁x₂+y₁y₂＜0；
（II）由（I）中的方程组得出x₁+x₂，y₁+y₂，得出AB的中点M的坐标，同理得出CD的中点N的坐标，得出MN的直线方程，化为斜截式方程得出定点坐标．

解答 解：（I）设直线l₁：y=kx+m，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=4y}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，消元得：x²-4kx-4m=0．
∵m＞0，∴△=16k²+16m＞0恒成立．
设 A（x₁，y₁）．B（x₂，y₂），则x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4m．
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=m²．
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=m²-4m＜0．
又m＞0，解得0＜m＜4．
（II）由（I）可得x₁+x₂=4k，y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=4k²+2m，
∴M（2k，2k²+m），
同理可得N（$-\frac{2}{k}$，$\frac{2}{{k}^{2}}+m$），
∴直线MN的方程为：$\frac{y-2{k}^{2}-m}{\frac{2}{{k}^{2}}-2{k}^{2}}=\frac{x-2k}{-\frac{2}{k}-2k}$，整理得：y=（k-$\frac{1}{k}$）x+m+2．
∴直线MN过定点（0，m+2）．

点评 本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系，根与系数的关系，属于中档题．