Question

【题目】已知函数f（x）＝xex﹣ax2﹣x；

（1）若f（x）在x＝﹣1处取得极值，求a的值及f（x）的单调区间；

（2）当x＞1时，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）a≤e﹣1

【解析】

（1）求出f′（x），得到f′（﹣1）＝0，解出即可；（2）当x＞1时，f（x）＞0，转化为a，设g（x），（x＞1），则利用导数求出g（x）的最小值，即可求得a的取值范围．

1）f′（x）＝（x+1）ex﹣2ax﹣1，

若f（x）在x＝﹣1处取得极值，则f′（﹣1）＝2a﹣1＝0，

解得：a，

故f（x）＝xexx2﹣x，f′（x）＝（x+1）ex﹣x﹣1= ，

令f′（x）＞0，解得：x＞0或x＜﹣1，

令f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜0，

∴f（x）在（﹣∞，﹣1）递增，在（﹣1，0）递减，在（0，+∞）递增；

故单调增区间为（﹣∞，﹣1），（0，+∞）；减区间为（﹣1，0）

（2）x＞1时，f（x）＝xex﹣ax2﹣x＞0，即a，

设g（x），（x＞1）

∴g′（x）0，

∴g（x）在（1，+∞）递增，

g（x）＞g（1）＝e﹣1，

∴a≤e﹣1．