Question

17．数列{a_n}的通项公式a_n=tann•tan（n-1），证明对于任意n∈N₊存在常数A、B使得S_n=Atann+Bn．

Answer 1

分析 通过两角差的正切公式变形可知a_n=$\frac{tann-tan（n-1）}{tan1}$-1，进而利用分组法求和即可．

解答 证明：∵tan（A-B）=$\frac{tanA-tanB}{1+tanA•tanB}$，
∴tanA•tanB=$\frac{tanA-tanB}{tan（A-B）}$-1，
又∵数列{a_n}的通项公式a_n=tann•tan（n-1），
∴a_n=$\frac{tann-tan（n-1）}{tan[n-（n-1）]}$-1=$\frac{tann-tan（n-1）}{tan1}$-1，
∴S_n=$\frac{1}{tan1}$[tan1-tan0+tan2-tan1+tan3-tan2+…+tann-tan（n-1）]-n
=$\frac{1}{tan1}$（tann-tan0）-n
=$\frac{1}{tan1}$•tann-n，
令A=$\frac{1}{tan1}$，B=-1，则对于任意n∈N₊存在常数A、B使得S_n=Atann+Bn．

点评 本题考查数列的求和，涉及两角差的正切公式，考查并项相消法求数列的和，注意解题方法的积累，属于中档题．