Question

已知a∈[-1，1]，不等式x²+（a-4）x+4-2a＞0恒成立，则x的取值范围为（　　）

• A、（-∞，2）∪（3，+∞）
• B、（-∞，1）∪（2，+∞）
• C、（-∞，1）∪（3，+∞）
• D、（1，3）

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：不等式的解法及应用

分析：把不等式看作是关于a的一元一次不等式，然后构造函数f（a）=（x-2）a+x²-4x+4，由不等式在[-1，1]上恒成立，得到

f(-1)＞0 f(1)＞0

，求解关于a的不等式组得x得取值范围．

解答： 解：令f（a）=（x-2）a+x²-4x+4，
则不等式x²+（a-4）x+4-2a＞0恒成立转化为f（a）＞0恒成立（a∈[-1，1]）．
∴有

f(-1)＞0 f(1)＞0

，即

-(x-2)+x2-4x+4＞0 x-2+x2-4x+4＞0

，
整理得：

x2-5x+6＞0 x2-3x+2＞0

，
解得：x＜1或x＞3．
∴x的取值范围为（-∞，1）∪（3，+∞）．
故选：C．

点评：本题考查了恒成立问题，体现了数学转化思想方法，“更换主元”是解答该题的关键，是中档题．