Question

1．已知α为锐角，$f（α）=\frac{{sin（α-\frac{π}{2}）cos（\frac{3π}{2}+α）tan（π-α）}}{tan（-α-π）sin（-α-π）}$=$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，g（x）=sinx+cos（x-α）
（1）求g（x）的最小正周期、对称中心．
（2）求函数在区间$[0，\frac{π}{2}]$上的最大值、最小值及相应的x的值．

Answer 1

分析 （1）使用诱导公式化简f（α），使用和角公式化简g（x）利用正弦函数的性质得出答案．
（2）根据x的范围和正弦函数的性质得出g（x）的最值．

解答 解：（1）$f（α）=\frac{-cosαsinα（-tanα）}{-tanαsinα}=-cosα$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又α是锐角，∴α=$\frac{π}{6}$．
∴g（x）=sinx+cos（x-$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx=$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{6}$）．
∴g（x）的最小正周期为T=2π．
由$x+\frac{π}{6}=kπ，k∈z$得对称中心为$（kπ-\frac{π}{6}，0），（k∈Z）$，
（2）∵x∈$[0，\frac{π}{2}]$，∴x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]．
∴当x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$ 即x=$\frac{π}{3}$时，g（x）的最大值为$\sqrt{3}$．
当x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$即x=0时，g（x）的最小值为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于基础题．