Question

9．已知函数f（x）的定义域为R，若?常数c＞0，对?x∈R，有f（x+c）＞f（x-c），则称函数f（x）具有性质P．给定下列三个函数：①f（x）=2^x-（$\frac{1}{2}$）^x，②f（x）=sinx，③f（x）=x³-x其中，具有性质P的函数的序号是（　　）

• A． ①②
• B． ②
• C． ②③
• D． ①③

Answer 1

分析 根据f（x）=2^x-（$\frac{1}{2}$）^x是R上的增函数，故满足条件．因为f（x）=sinx是周期函数，故不满足条件．对于f（x）=x³-x，由f（x+c）＞f（x-c）可求得c＞1，从而得出结论．

解答 解：①因为f（x）=2^x-（$\frac{1}{2}$）^x是R上的增函数，所以满足f（x+c）＞f（x-c），故此函数f（x）具有性质P．
 ②因为f（x）=sinx的最小正周期为2π，不是在R上的增函数，所以不满足f（x+c）＞f（x-c），故此函数f（x）不具有性质P．
③∵f（x）=x³-x，∴由f（x+c）＞f（x-c），可得（x+c）³-（x+c）＞（x-c）³-（x-c），
∴3x²+c²-1＞0，
∵对?x∈R，有f（x+c）＞f（x-c），
∴只须c＞1就可以了，故此函数f（x）具有性质P．
故选：D．

点评 本题主要考查新定义，命题真假的判断，函数的周期性和单调性的应用，属于基础题．