Question

【题目】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tanC= ，c=﹣3bcosA．
（1）求tanB的值；
（2）若c=2，求△ABC的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：由正弦定理，得sinC=﹣3sinBcosA，

∵sinC=sin（A+B），

∴sin（A+B）=﹣3sinBcosA，sinAcosB+cosAsinB=﹣3sinBcosA，

即sinAcoB=﹣4sinBcosA，

∵cosAcoB≠0，

∴tanA=﹣4tanB，

又tanC=﹣tan（A+B）= = = ，解得tanB=

（2）解：由（1）知，sinA= ，sinB= ，sinC= ，

∵a= = ，

∴S△ABC= acsinB=

【解析】（1）由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得sinAcoB=﹣4sinBcosA，结合cosAcoB≠0，利用同角三角函数基本关系式，两角和的正切函数公式即可解得得解tanB的值．（2）由（1）利用同角三角函数基本关系式可求sinA= ，sinB= ，sinC= ，利用正弦定理可求a，进而利用三角形面积公式即可计算得解．
【考点精析】解答此题的关键在于理解正弦定理的定义的相关知识，掌握正弦定理:．