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    椭圆C1：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的左右顶点分别为A、B．点P双曲线C2：
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1在第一象限内的图象上一点，直线AP、BP与椭圆C1分别交于C、D点．若△ACD与△PCD的面积相等．
    （1）求P点的坐标；
    （2）能否使直线CD过椭圆C1的右焦点，若能，求出此时双曲线C2的离心率，若不能，请说明理由．
    分析：（1）设P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），又有点A（-a，0），B（a，0）．由S△ACD=S△PCD，知C为AP的中点，C(
    x0-a
    2
    ，
    y0
    2
    )    ．将C点坐标代入椭圆方程，得
    (x0-a)2
    a2
    +
    y
    2
    0
    b2
    =4    ，由此能够推导出P(2a，
    		3
    b)    ．
    （2）由KPD=KPB=
    y0
    x0-a
    =
    		3
    b
    a
    ，把直线PD：y=
    		3
    b
    a
    (x-a)    代入
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    ?2x2-3ax+a2=0．由此入手能够导出可使CD过椭圆C1的右焦点，此时C2的离心率为
    		7
    2
    ．
    解答：解：（1）设P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），又有点A（-a，0），B（a，0）．
    ∵S△ACD=S△PCD，
    ∴C为AP的中点，∴C(
    x0-a
    2
    ，
    y0
    2
    )    ．
    将C点坐标代入椭圆方程，得
    (x0-a)2
    a2
    +
    y
    2
    0
    b2
    =4    ，
    又
    x
    2
    0
    a2
    -
    y
    2
    0
    b2
    =1    ?
    (x0-a)2
    a2
    +
    x
    2
    0
    a2
    =5    ，
    ∴x0=2a（x0=-a舍去），
    ∴y0=
    		3
    b    ，
    ∴P(2a，
    		3
    b)    ．
    （2）∵KPD=KPB=
    y0
    x0-a
    =
    		3
    b
    a
    ，
    直线PD：y=
    		3
    b
    a
    (x-a)    代入
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    ?2x2-3ax+a2=0
    ∴xD=
    a
    2
    (xD=a舍去)    ，
    ∴C(
    x0-a
    2
    ，
    y0
    2
    )，即C(
    a
    2
    ，
    		3
    2
    b)
    ∴CD垂直于x轴．若CD过椭圆C1的右焦点，则
    a
    2
    =
    		a2-b2
    ，
    ∴b=
    		3
    2
    a    ，
    ∴e=
    		a2+b2
    a
    =
    		7
    2
    ．故可使CD过椭圆C1的右焦点，此时C2的离心率为
    		7
    2
    ．
    点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网设椭圆C1：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的左、右焦点分别是F1、F2，下顶点为A，线段OA的中点为B（O为坐标原点），如图．若抛物线C2：y=x2-1与y轴的交点为B，且经过F1，F2点．
    （Ⅰ）求椭圆C1的方程；
    （Ⅱ）设M（0，-
    4
    5
    ），N为抛物线C2上的一动点，过点N作抛物线C2的切线交椭圆C1于P、Q两点，求△MPQ面积的最大值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C1：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的右焦点F2与抛物线C2：y2=4x的焦点重合，椭圆C1与抛物线C2在第一象限的交点为P，|PF2|=
    5
    3
    ，求椭圆C1的方程．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•三门峡模拟）已知椭圆C1：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的长轴长为4，离心率为
    1
    2
    ，F1、F2分别为其左右焦点．一动圆过点F2，且与直线x=-1相切．
    （Ⅰ）（ⅰ）求椭圆C1的方程； （ⅱ）求动圆圆心C轨迹的方程；
    （Ⅱ）在曲线上C有两点M、N，椭圆C1上有两点P、Q，满足MF2与
    NF2
    共线，
    PF2
    与
    QF2
    共线，且
    PF2
    •
    MF2
    =0，求四边形PMQN面积的最小值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C1：
    x2
    A2
    +
    y2
    B2
    =1(A＞B＞0)    和双曲线C2：
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1(a＞0，b＞0)    有相同的焦点F1、F2，2c是它们的共同焦距，且它们的离心率互为倒数，P是它们在第一象限的交点，当cos∠F1PF2=60°时，下列结论中正确的是（　　）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•汕头一模）已知椭圆C1：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，离心率e=
    1
    2

    （1）设抛物线C2：y2=4x的准线与x轴交于F1，求椭圆的方程；
    （2）设已知双曲线C3以椭圆C1的焦点为顶点，顶点为焦点，b是双曲线C3在第一象限上任意-点，问是否存在常数λ（λ＞0），使∠BAF1=λ∠BF1A恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

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