Question

已知函数f（x）=

x2+2x+a，x＜0 lnx，x＞0

，其中a是实数．设A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））为该函数图象上的两点，且x₁＜x₂，若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的综合应用

分析：先根据导数的几何意义写出函数f（x）在点A、B处的切线方程，再利用两直线重合的充要条件列出关系式，从而得出a=lnx₂+（

1

2x2

-1）²-1，最后利用导数研究它的单调性和最值，即可得出a的取值范围．

解答： 解：当x₁＜x₂＜0，或0＜x₁＜x₂时，f′（x₁）≠f′（x₂），故x₁＜0＜x₂，
当x₁＜0时，函数f（x）在点A（x₁，f（x₁））处的切线方程为y-（x₁²+2x₁+a）=（2x₁+2）（x-x₁）；
当x₂＞0时，函数f（x）在点B（x₂，f（x₂））处的切线方程为y-lnx₂=

1

x2

（x-x₂）；
两直线重合的充要条件是

1

x2

=2x₁+2①，lnx₂-1=-x₁²+a②，
由①及x₁＜0＜x₂得0＜

1

x2

＜2，由①②得a=lnx₂+（

1

2x2

-1）²-1=-ln

1

x2

+

1

4

（

1

x2

-2）²-1，
令t=

1

x2

，则0＜t＜2，且a=

1

4

t²-t-lnt，设h（t）=

1

4

t²-t-lnt，（0＜t＜2）
则h′（t）=

1

2

t-1-

1

t

=

(t-1)2-3

2t

＜0，∴h（t）在（0，2）为减函数，
则h（t）＞h（2）=-ln2-1，∴a＞-ln2-1，
∴若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，a的取值范围（-ln2-1，+∞）．
故答案为：（-ln2-1，+∞）．

点评：本题主要考查了导数的几何意义等基础知识，考查了推理论证能力、运算能力、创新意识，考查了函数与方程、分类与整合、转化与化归等思想方法．