Question

20．在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\frac{5}{2}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$，b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-2}$．求证：数列{b_n+$\frac{2}{3}$}是等比数列．

Answer 1

分析 由a₁=1求出b₁、b₁+$\frac{2}{3}$的值，根据递推公式求出b_n+1，代入$\frac{{b}_{n+1}+\frac{2}{3}}{{b}_{n}+\frac{2}{3}}$化简，由等比数列的定义证明数列{b_n+$\frac{2}{3}$}是等比数列．

解答 解：由a₁=1得，b₁=$\frac{1}{{a}_{1}-2}$=-1，则b₁+$\frac{2}{3}$=$-\frac{1}{3}$，
因为a_n+1=$\frac{5}{2}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$，b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-2}$，
所以b_n+1=$\frac{1}{{a}_{n+1}-2}$=$\frac{1}{\frac{5}{2}-\frac{1}{{a}_{n}}-2}$=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}-2}$，
则$\frac{{b}_{n+1}+\frac{2}{3}}{{b}_{n}+\frac{2}{3}}$=$\frac{\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}-2}+\frac{2}{3}}{\frac{1}{{a}_{n}-2}+\frac{2}{3}}$=$\frac{8{a}_{n}-4}{{2a}_{n}-1}$=4，
所以数列{b_n+$\frac{2}{3}$}是以4为公比、-$\frac{1}{3}$为首项的等比数列．

点评 本题考查等比数列的证明方法：定义法，考查化简、变形能力．