Question

8．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，sinx），$\overrightarrow{b}$=（sin²x，cosx），函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若f（α）=$\frac{3}{4}$，且α∈[0，$\frac{π}{2}$]，求sin2α的值．

Answer 1

分析 （1）首先，根据向量的数量积的运算性质，得到函数解析式，然后，利用辅助角公式进行化简，再利用正弦函数的单调性求解即可；
（2）可以结合（1），利用两角和与差的三角函数展开即可求解其值．

解答 解：（1）∵f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$
=sin²x+sinxcosx
=$\frac{1}{2}$（1-cos2x）+$\frac{1}{2}$sin2x
=$\frac{1}{2}$（sin2x-cos2x）+$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$．
∴f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$．
令-$\frac{π}{2}+2kπ≤$2x-$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴-$\frac{π}{4}$+2kπ≤2x≤$\frac{3π}{4}$+2kπ，
∴-$\frac{π}{8}$+kπ≤x≤$\frac{3π}{8}$+kπ，k∈Z，
∴f（x）的单调递增区间[-$\frac{π}{8}$+kπ，$\frac{3π}{8}$+kπ]，（k∈Z），
（2）∵f（α）=$\frac{3}{4}$，且α∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴f（α）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2α-$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{4}$，
∴sin（2α-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∵α∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴2α∈[0，π]，
∴2α-$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
∵0＜sin（2α-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{4}$＜$\frac{1}{2}$，
∴2α-$\frac{π}{4}$∈[0，$\frac{π}{6}$]，
∴cos（2α-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{14}}{4}$，
∴sin2α=sin[（2α-$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{4}$]
=sin（2α-$\frac{π}{4}$）cos$\frac{π}{4}$+cos（2α-$\frac{π}{4}$）sin$\frac{π}{4}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{4}$+$\frac{\sqrt{14}}{4}×\frac{\sqrt{2}}{2}$
=$\frac{1+\sqrt{7}}{4}$．

点评 本题重点考查了向量的数量积运算性质、三角函数的单调性、二倍角公式等知识，属于中档题．