Question

18．已知2x+y=1，且x＞0，y＞0，则$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的最小值是3+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由题意可得$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$=（$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$）（2x+y）=3+$\frac{y}{x}$+$\frac{2x}{y}$，由基本不等式可得．

解答 解：∵2x+y=1，且x＞0，y＞0，
∴$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$=（$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$）（2x+y）
=3+$\frac{y}{x}$+$\frac{2x}{y}$≥3+2$\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{2x}{y}}$=3+2$\sqrt{2}$
当且仅当$\frac{y}{x}$=$\frac{2x}{y}$时取等号，
结合2x+y=1可得x=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$且y=$\sqrt{2}$-1，
故答案为：3+2$\sqrt{2}$

点评 本题考查基本不等式求最值，“1”的代换是解决问题的关键，属基础题．