Question

10．设m、a∈R，f（x）=x²+（a-1）x+1，g（x）=mx²+2ax+$\frac{m}{4}$．若命题“对一切实数f（x）＞0”成立时，命题“对一切实数x，g（x）＞0”也成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 先根据条件求出a的取值范围，对m进行分类，当m=0时，g（x）=2ax，对一切实数x，g（x）＞0不成立，当m≠0时，△=4a²-m²＜0，即|m|＞2|a||，解得即可．

解答 解：对一切实数f（x）＞0，f（x）=x²+（a-1）x+1
∴△=（a-1）²-4＜0，
解得-1＜a＜3，
∵g（x）=mx²+2ax+$\frac{m}{4}$，对一切实数x，g（x）＞0成立，
当m=0时，g（x）=2ax，对一切实数x，g（x）＞0不成立，
当m≠0时，$\left\{\begin{array}{l}{△=4{a}^{2}-{m}^{2}＜0}\\{m＞0}\end{array}\right.$，
∴|m|≥6，
∴m≥6，
故实数m的取值范围[6，+∞）．

点评 本题主要考查命题的真假的判断和应用，二次函数的性质，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．