Question

4．设双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），R₁，R₂是它实轴的两个端点，Q是其虚轴的一个端点，已知渐近线的方向向量是（1，$\sqrt{3}$）与（1，-$\sqrt{3}$），△QR₁R₂的面积是$\sqrt{3}$，O是坐标原点，直线y=kx+m与双曲线C交于A，B两点，且$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$．
（1）求双曲线C的方程；
（2）求点P（k，m）的轨迹方程；
（3）求证：原点O到直线AB的距离是定值，并求弦|AB|的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据渐近线的方向向量是（1，$\sqrt{3}$）与（1，-$\sqrt{3}$），可得双曲线的渐近线方程从而有b=$\sqrt{3}$a，c=2a，利用△QR₁R₂的面积是$\sqrt{3}$，即可求得双曲线C的方程；
（2）直线AB：y=kx+m与双曲线${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}$=1联立消去y得（3-k²）x²-2kmx-m²-3=0，利用韦达定理及$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$知x₁x₂+y₁y₂=0，即可求得点P的轨迹方程；
（3）原点O到直线AB的距离是d=$\frac{|m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{\frac{3}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$为定值，弦|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（\frac{2km}{3-{k}^{2}}）^{2}-4•\frac{-{m}^{2}-3}{3-{k}^{2}}}$，利用换元法求弦|AB|的最小值．

解答 解：（1）由题意，渐近线的方向向量是（1，$\sqrt{3}$）与（1，-$\sqrt{3}$），
∴双曲线的渐近线方程为y=±$\sqrt{3}$x，则有b=$\sqrt{3}$a，c=2a，
又△QR₁R₂的面积是$\sqrt{3}$，故$\frac{1}{2}$×2a×b=$\sqrt{3}$，得a=1，b=$\sqrt{3}$，c=2，
所以双曲线C的方程为${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直线AB：y=kx+m与双曲线${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}$=1联立消去y得（3-k²）x²-2kmx-m²-3=0，
由题意3-k²≠0，且x₁+x₂=$\frac{2km}{3-{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{-{m}^{2}-3}{3-{k}^{2}}$，
又由$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$知x₁x₂+y₁y₂=0，
而x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²，所以化简得2m²-3k²=3①
由△＞0可得k²＜m²+3②
由①②可得2m²-3k²=3，
故点P的轨迹方程是2y²-3x²=3（x≠±$\sqrt{3}$），其轨迹是双曲线；
（3）∵2m²-3k²=3，
∴原点O到直线AB的距离是d=$\frac{|m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{\frac{3}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$为定值，
弦|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（\frac{2km}{3-{k}^{2}}）^{2}-4•\frac{-{m}^{2}-3}{3-{k}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{（6{k}^{2}+54）（1+{k}^{2}）}{（3-{k}^{2}）^{2}}}$，
设3-k²=t（t≤3），弦|AB|=$\sqrt{\frac{288}{{t}^{2}}-\frac{96}{t}+6}$=$\sqrt{288（\frac{1}{t}-\frac{1}{6}）^{2}-2}$
∴t=3时，弦|AB|的最小值为$\sqrt{6}$．

点评 本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，考查直线与双曲线的位置关系，考查向量知识的运用，解题的关键是直线与双曲线方程联立，利用韦达定理进行求解．